Question

18. 如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G .

（Ⅰ）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）求点A₁到平面AED的距离.

Answer 1

18.

解法一：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，

∵D、E分别是CC₁、A₁B的中点，又DC⊥平面ABC，

∴CDEF为矩形.

连结DF，G是△ADB的重心，

∴G∈DF.在直角三角形EFD中，EF²=FG·FD=FD²，

∵EF=1，∴FD=.

于是ED=，EG==.

∵FC=ED=，

 

∴AB=2，A₁B=2，EB=.

 

∴sinEBG==.

 

∴A₁B与平面ABD所成的角是arcsin.

 

（Ⅱ）连结A₁D，有.

∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，

∴ED⊥平面A₁AB，

 

设A₁到平面AED的距离为h，则S_△AED·h=·ED.

 

又==A₁A·AB=，

 

S_△AED=AE·ED=.

 

∴h=.

 

即A₁到平面AED的距离为.

 

解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A₁BG是A₁B与平面ABD所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为O.设CA=2a，

则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1），A₁（2a，0，2），E（a，a，1），

G（）.

∴=（），=（0，－2a，1）.

∴·=－a²+=0，

解得a=1.

∴=（2，－2，2），=（，－，）.

 

∴cosA₁BG==.

 

A₁B与平面ABD所成角是arccos.

 

（Ⅱ）由（Ⅰ）有A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）.

=（－1，1，1）·（－1，－1，0）=0，

=（0，0，2）·（－1，－1，0）=0，

∴ED⊥平面AA₁E，又ED平面AED，

∴平面AED⊥平面AA₁E，

又面AED∩面AA₁E=AE.

∴点A₁在平面AED的射影K在AE上.

设=λ，则=（－λ，λ，λ－2）.

由 =0，即λ+λ+λ－2=0，解得λ=.

 

∴=（－，，－）.∴=.

 

故A₁到平面AED的距离为.