Question

3．已知函数f（x）对任意的实数满足：f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，且当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，当-1≤x＜3时，f（x）=x．
（1）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）；
（2）确定y=f（x）的图象与y=lg|$\frac{1}{x}$|的图象的交点．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得f（x+6）=f（x），求出函数的周期，由解析式和周期性依次求出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再求和，最后运用周期性求f（1）+f（2）+…+f（2013）+f（2014）的值；
（2）由题意求出f（x）的解析式，化简y=lg|$\frac{1}{x}$|，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，根据图象即可得到答案．

解答 解：由题意知，f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，则f（x+6）=-$\frac{1}{f（x+3）}$=f（x），
∴f（x+6）=f（x），且函数f（x）的周期6，
∵-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，当-1≤x＜3时，f（x）=x，
∴f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（6-3）=f（-3）=-（-3+2）²=-1，
f（4）=f（6-2）=f（-2）=-（-2+2）²=0，
f（5）=f（6-1）=f（-1）=-（-1+2）²=-1，f（6）=f（0）=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1，
∴f（1）+f（2）+…+f（2013）+f（2014）=335+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=337；

（2）由题意知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，-1≤x＜3}\\{-（x+2）^{2}，-3≤x＜-1}\end{array}\right.$，且周期是6，
y=lg|$\frac{1}{x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{-lgx，x＞0}\\{-lg（-x），x＜0}\end{array}\right.$，且此函数是偶函数，
在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：
由图可得，两个函数图象的交点个数是10个．

点评 本题考查利用函数的周期性求函数值，对数函数、分段函数的图象问题，考查数形结合思想，画出函数的图象是解题的关键．