Question

设f(x)＝(4^x＋4^－x)－a(2^x＋2^－x)＋a＋2(a为常数)．

(1)a＝－2时，求f(x)的最小值；

(2)求所有使f(x)的值域为[－1，＋∞)的a值．

Answer 1

解析　(1)设t＝2^x＋2^－x，则t≥2，且y＝t²＋2t－2.

∴y≥6，故所求的最小值为6.

(2)令t＝2^x＋2^－x，则t≥2，且y＝t²－at＋a.

当≤2，即a≤4时，y_min＝4－a.

当>2，即a>4时，y_min＝a－.

若4－a＝－1，则a＝5(舍)；若a－＝－1，

则a＝2＋2或a＝2－2(舍)．

故所求的a的值为2＋2.

讲评　换元法是中学数学中的重要方法，通过换元可使繁杂的式子简单化，从而便于分析问题解决问题．