Question

设[x]表示数x的整数部分（即小于等于x的最大整数），例如[3.15]=3，[0.7]=0，那么函数的值域为________．

Answer 1

{0，1}
分析：由题设中的定义，可对x分区间讨论，设m表示整数．①当x=2m时，显然 =m，=m．所以y=0．②当x=2m+1时，=m+1，=m，所以y=1．③当2m＜x＜2m+1时，=m，=m，所以y=0．④当2m+1＜x＜2m+2时，此时 =m，=m+1，所以y=1，综合此四类即可得到函数的值域
解答：设m表示整数．
①当x=2m时，
=[m+0.5]=m，=[m]=m．
∴此时恒有y=0．
②当x=2m+1时，
=[m+1]=m+1，=[m+0.5]=m．
∴此时恒有y=1．
③当2m＜x＜2m+1时，
2m+1＜x+1＜2m+2
∴m＜＜m+0.5
m+0.5＜＜m+1
∴=m，=m
∴此时恒有y=0
④当2m+1＜x＜2m+2时，
2m+2＜x+1＜2m+3
∴m+0.5＜＜m+1
m+1＜＜m+1.5
∴此时 =m，=m+1
∴此时恒有y=1．
综上可知，y∈{0，1}．
故答案为{0，1}．
点评：此题是新定义一个函数，根据所给的规则求函数的值域，求解的关键是理解所给的定义，一般从函数的解析式入手，要找出准确的切入点，理解[x]表示数x的整数部分，考察了分析理解，判断推理的能力及分类讨论的思想