Question

3．如图已知四边形AOCB中，|$\overrightarrow{OA}$|=5，$\overrightarrow{OC}$=（5，0），点B位于第一象限，若△BOC为正三角形．
（1）若cos∠AOB=$\frac{3}{5}$，求A点坐标；
（2）记向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为θ，求cos2θ的值．

Answer 1

分析 （1）设∠AOB=α，cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$．可得：x_A=$5cos（α+\frac{π}{3}）$，y_A=$5sin（α+\frac{π}{3}）$．
（2）B$（\frac{5}{2}，\frac{5\sqrt{3}}{2}）$，计算$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$.$|\overrightarrow{OA}|$，$|\overrightarrow{BC}|$．可得cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{BC}|}$．

解答 解：（1）设∠AOB=α，cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$．
x_A=$5cos（α+\frac{π}{3}）$=$5（\frac{3}{5}×\frac{1}{2}-\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{2}$．
y_A=$5sin（α+\frac{π}{3}）$=5$（\frac{4}{5}×\frac{1}{2}+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{2}$．
∴A$（\frac{3-4\sqrt{3}}{2}，\frac{4+3\sqrt{3}}{2}）$．
（2）B$（\frac{5}{2}，\frac{5\sqrt{3}}{2}）$，
$\overrightarrow{BC}$=$（\frac{5}{2}，-\frac{5\sqrt{3}}{2}）$．
$\overrightarrow{OA}$=$（\frac{3-4\sqrt{3}}{2}，\frac{4+3\sqrt{3}}{2}）$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{15-20\sqrt{3}}{4}$-$\frac{20\sqrt{3}+45}{4}$=$-\frac{15+20\sqrt{3}}{2}$．
$|\overrightarrow{OA}|$=5，$|\overrightarrow{BC}|$=5．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{BC}|}$=$-\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．
∴cos2θ=2cos²θ-1=$\frac{7+24\sqrt{3}}{50}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．