Question

一个斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为5，若侧棱AA₁和底面三角形的相邻两边都成45°角，求这个三棱柱的体积．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：过点A1作A1O⊥面ABC于O，则O落在△ABC内，再过O点分别作OE⊥AB于E、OF⊥AC于F，连结A1E、A1F，则A1E⊥AE， ∴△AA1E为直角三角形． ∵∠A1AE=45°，AA1=5， ∴AE=A1E=．同理A1F=． ∴A1E=A1F，∴OE=OF， ∴AO是∠BAC的平分线．由△ABC是正三角形知∠EAO=30。． 在Rt△AOE中，AO=,∴A1O=． < span lang=EN-US style='mso-bidi-font-size:10.5pt;color:black'>∴斜三棱柱ABC—A1B1C1的体积是 V三菱柱=． 点评：本题由于易求棱柱的底面面积，所以求其体积就是求高A1O．因为AA1与AB、AC所成角相等，所以A1的射影一定在∠BAC的平分线上，从而得出∠EA0=30°．然后再根据AE的值求得AO，由直角三角形A1AO求得高A1O．最后求出棱柱的体积．