Question

一个斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为5，若侧棱AA₁和底面三角形的相邻两边都成45°角，求这个三棱柱的体积.

 

Answer 1

解析:过点A₁作A₁O⊥面ABC于O，则O落在△ABC内，再过O点分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结A₁E、A₁F，则A₁E⊥AE，

∴△AA₁E为直角三角形.

∵∠A₁AE=45°，AA₁=5，

∴AE=A₁E=.同理,A₁F=.

∴A₁E=A₁F.

∴OE=OF.

∴AO是∠BAC的平分线.由△ABC是正三角形知∠EAO=30°.

在Rt△AOE中，AO=，

∴A₁O=.

∴斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的体积是V_三棱柱=×4²×.

小结：本题由于易求棱柱的底面面积，所以求其体积就是求高A₁O.因为AA₁与AB、AC所成角相等，所以A₁的射影一定在∠BAC的平分线上，从而得出∠EAO=30°.然后再根据AE的值求得AO，由Rt△A₁AO求得高A₁O.最后求出棱柱的体积.