Question

（本小题满分14分）

已知函数.                                  

（Ⅰ）求f (x)的单调区间；

（Ⅱ）若当时，不等式f (x)<m恒成立，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）若关于x的方程在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

Answer 1

（本小题满分14分）

（Ⅰ）函数的定义域为（-1, +∞）.…………………………………………… 1分

          ∵ , 

由，得x>0；由，得.………………… 3分

∴ f (x)的递增区间是，递减区间是（-1, 0）.………………… 4分

（Ⅱ）∵ 由，得x=0,x=-2（舍去）

由（Ⅰ）知f (x)在上递减，在上递增. 

又 ， , 且.

∴ 当时，f (x)的最大值为.

故当时，不等式f (x)<m恒成立.……………………………… 9分

（Ⅲ）方程,  .

 记,

 ∵ ,  

由,得x>1或x<-1（舍去）.   由, 得.

    ∴ g(x)在[0,1]上递减, 在[1,2]上递增. ………………………………11分

 为使方程在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，

  只须g(x)=0在[0,1]和上各有一个实数根,于是有

           ∵ ,  ………………………………13分

∴ 实数a的取值范围是 . ……………………… 14分