Question

19．函数y=$\frac{2-sinx}{3+cosx}$的值域为[$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$]．

Answer 1

分析 把函数转化为方程2-3y=ycosx+sinx，利用三角函数有界性得出不等式：|$\frac{2-3y}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$|≤1求解即可．

解答 解：∵y=$\frac{2-sinx}{3+cosx}$
∴2-3y=ycosx+sinx，
sin（x+α）=$\frac{2-3y}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$
即可得出：|$\frac{2-3y}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$|≤1
求解得出：$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$$≤y≤\frac{3+\sqrt{3}}{4}$
故答案为：[$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$]

点评 本题考查了简单的函数值域的求解，三角函数的有界性，不等式即可，属于中档题．