Question

已知f（x）=x³，g（x）=-x²+x-

2

9

a，若存在x₀∈[-1，

a

3

]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀），则实数a的取值范围是______．

Answer 1

由题意，存在x₀∈[-1，

a

3

]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀），转化为存在x∈[-1，

a

3

]（a＞0），使得（f（x）-g（x））_min＜0即可，
令h（x）=f（x）-g（x）=x³+x²-x+

2

9

a，则h′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）
令h′（x）＞0解得x＜-1或x＞

1

3

，即h（x）在区间（-∞，-1）与（

1

3

，+∞）上是增函数，在（-1，

1

3

）上是减函数
又x₀∈[-1，

a

3

]（a＞0），
当a≤1时，h（x）在区间[-1，

a

3

]上是减函数，最小值为h（

a

3

）=

a3

27

+

a2

9

-

a

3

+

2a

9

=

a3

27

+

a2

9

-

a

9

令h（

a

3

）＜0，解得

-3- 15?

2

＜a＜

-3+ 15?

2

，故0＜a＜

-3+ 15?

2

符合要求
当a＞1时，h（x）在区间[-1，

1

3

]减，在[

1

3

，

a

3

]上是增函数，故最小值为h（

1

3

）=

1

27

+

1

9

-

1

3

+

2

9

a
h（

1

3

）＜0，解得a＜

5

2

，故1＜a＜

5

2

综上知，符合条件的参数a的取值范围是0＜a＜

-3+ 15?

2

或1＜a＜

5

2