Question

已知f（x）=x²-x+k，k∈Z，若方程f（x）=2在（-1，

3

2

）上有两个不相等的实数根．
（Ⅰ）确定k的值；
（Ⅱ）求

[f(x)]2+4

f(x)

的最小值及对应的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设g（x）=f（x）-2，由题设可得

g(-1)=k＞0 g( 3 2 )=k- 5 4 ＞0 △=9-4k＞0 - -1 2 ∈(-1 ， 3 2 )

，求得k的范围，再结合k∈z，可得k的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x²-x+2，再利用基本不等式求得它的最小值．

解答：解：（Ⅰ）设g（x）=f（x）-2=x²-x+k-2，由题设可得

g(-1)=k＞0 g( 3 2 )=k- 5 4 ＞0 △=9-4k＞0 - -1 2 ∈(-1 ， 3 2 )

，-----（4分）
化简可得

5

4

＜k＜

9

4

．
再由 k∈z，可得 k=2．------（6分）
（Ⅱ）∵k=2，∴f（x）=x²-x+2．------（8分）
∴

[f(x)]2+4

f(x)

=f（x）+

4

f(x)

≥4，当且仅当f（x）=

4

f(x)

时取等号．------（10分）
∵f（x）＞0，
∴f（x）=2时取等号．
即x²-x+2=2，解得x=0或x=1．
故当x=0或x=1时，

[f(x)]2+4

f(x)

 取最小值4．---------（12分）

点评：本土主要复合函数的单调性，二次函数的性质、基本不等式的应用，属于中档题．