Question

（2012•石景山区一模）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若A=

π

4

，a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由正弦定理可得 2sinAcosB=sinA，故可得 cosB=

1

2

，又0＜B＜π，可得B=

π

3

．
（Ⅱ）由正弦定理 求得 b=

2× 3 2

2 2

=

6

，由三角形内角和公式求得 C=

5π

12

，可得sinC 的值，由此求得S=

1

2

ab•sinC 的值．

解答：解：（Ⅰ）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理，得
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．                     …（2分）
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，…（4分）
∵A∈（0，π），∴sinA≠0．
∴cosB=

1

2

．     又∵0＜B＜π，∴B=

π

3

．      …（6分）
（Ⅱ）由正弦定理

a

sinA

 = 

b

sinB

，得 b=

2× 3 2

2 2

=

6

．         …（8分）
∵A=

π

4

，B=

π

3

，∴C=

5π

12

，∴sinC=sin 

5π

12

=sin（

π

6

+

π

4

）=sin

π

6

cos 

π

4

+cos 

π

4

sin

π

6

=

6 + 2

4

．     …（11分）
∴S=

1

2

ab•sinC=

1

2

×2×

6

×

6 + 2

4

=

3+ 3

2

．    …（13分）

点评：解三角形是高考的重要组成部分，不在客观题考查，就在解答题中出现，但一般难度不大．解三角形所涉及的知识点要掌握，如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等，属于中档题．