Question

已知过点P（2，1）的直线与抛物线y²=4x相交于A、B两点，点M是线段AB的中点．
（1）当点P与M重合时，求直线AB的方程；
（2）求点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，相减可得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），利用中点坐标公式、斜率计算公式可得直线AB的斜率，再利用点斜式即可得出．
（2）由（1）可得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），设M（x，y），则k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

y-1

x-2

，y₁+y₂=2y．代入化简即可得出．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，
相减可得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴k_AB×2×1=4，解得k_AB=2．
∴直线AB的方程为y-1=2（x-2），
化为2x-y-3=0．
（2）由（1）可得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
设M（x，y），则k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

y-1

x-2

，y₁+y₂=2y．
∴

y-1

x-2

×2y=4，
化为(y-

1

2

)2=2(x-

15

8

)．x=2时也满足方程．
∴点M的轨迹方程为：(y-

1

2

)2=2(x-

15

8

).(x≥

15

8

)．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．