Question

【题目】如图，马路南边有一小池塘，池塘岸长40米，池塘的最远端到的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路，且均与小池塘岸线相切，记.

（1）求小路的总长，用表示；

（2）若在小路与小池塘之间（图中阴影区域）铺上草坪，求所需铺草坪面积最小时，的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）当时，所需铺草坪面积最小

【解析】

（1）建立合适的平面直角坐标系，求出小池塘的边界抛物线方程，然后设出直线的方程，和抛物线联立，可求出切点坐标， 同时可求出的坐标，表示出，变形即可得结果；

（2）要所需铺草坪面积最小，需要梯形面积最小，利用（1）的结果表示出梯形面积，利用基本不等式求出最值．

解：（1）以为原点，所在直线为轴，过点作垂直于轴的直线为轴，建立直角坐标系，所以，

因为小池塘的边界为抛物线型，设边界所在的抛物线方程为，

因为是曲线上一点，

所以，即抛物线方程为.

设所在的直线方程：，

联立，即，

因为与抛物线相切，

所以①.

记直线与抛物线切于点，

所以点的横坐标为，即.

易得点，点，由对称性可知，点.

所以小路总长为，

由①及可知

；

（2）记草坪面积为，梯形面积为，小池塘面积为，

所以，因为小池塘面积为定值，要使得草坪面积最小，则梯形面积最小

，

由①知，当且仅当“”取得“＝”

所以当时，梯形面积最小，即草坪面积最小．