Question

15．椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的一点，已知$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，则△F₁PF₂的面积为（　　）

• A． 9
• B． 12
• C． 10
• D． 8

Answer 1

分析 $\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，设$|\overrightarrow{P{F}_{1}}|$=m，$|\overrightarrow{P{F}_{2}}|$=n，则$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2a}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得a=5，b=3，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=4．
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
设$|\overrightarrow{P{F}_{1}}|$=m，$|\overrightarrow{P{F}_{2}}|$=n，
则$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2×5}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=（2×4）^{2}}\end{array}\right.$，
解得mn=18，
∴△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$mn=9．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、勾股定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．