Question

18．已知f（x）=sin（x-30°）+cos（x-60°），g（x）=2sin²$\frac{x}{2}$．
（1）若α为第一象限角且f（α）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，求g（α）之值；
（2）求f（x-1080°）≥g（x）在[0，360°]内的解集．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=$\sqrt{3}$sinx，g（x）=1-cosx，由f（α）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，可求sinα，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求g（α）．
（2）由（1）利用诱导公式可求f（x-1080°）=$\sqrt{3}$sinx，由f（x-1080°）≥g（x），可得sin（x+30°）≥$\frac{1}{2}$，
结合范围x∈[0°，360°]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵f（x）=sin（x-30°）+cos（x-60°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx=$\sqrt{3}$sinx，…2分
g（x）=2sin²$\frac{x}{2}$=1-cosx，…4分
由f（α）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，可得：sinα=$\frac{3}{5}$，
又α为第一象限角，
∴cos$α=\frac{4}{5}$，
∴g（α）=$\frac{1}{5}$．…5分
（2）由（1）可得f（x）=$\sqrt{3}$sinx，
∴f（x-1080°）=$\sqrt{3}$sin（x-1080°）=$\sqrt{3}$sinx，
∴f（x-1080°）≥g（x）等价于$\sqrt{3}$sinx≥1-cosx，即：$\sqrt{3}$sinx+cosx≥1，…7分
可得：2sin（x+30°）≥1，
∴sin（x+30°）≥$\frac{1}{2}$，…9分
∴k•360°+30°≤x+30°≤k•360°+150°（k∈Z），
又∵x∈[0°，360°]，
∴0°≤x≤120°，
∴f（x-1080°）≥g（x）的解集为：[0°，120°]．…12分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，诱导公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．