Question

已知向量

m

=(2sin

x

4

，2sin2

x

4

-1)，

n

=(cos

x

4

，-

3

)，函数f(x)=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的最大值，并写出相应x的取值集合；
（2）若f(α+

π

3

)=

10

5

，且α∈（0，π），求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）把函数f（x）表示出来并化简，利用三角知识即可求得；
（2）先由f(α+

π

3

)=

10

5

求出cos

α

2

，再用倍角公式求出cosα，据平方关系求出sinα，从而可求tanα．

解答：解：（1）f(x)=

m

•

n

=2sin

x

4

cos

x

4

+

3

(1-2sin2

x

4

)=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin(

x

2

+

π

3

)，
所以，当

x

2

+

π

3

=2kπ+

π

2

，即当x=4kπ+

π

3

(k∈Z)时，f（x）_max=2．
所以函数f（x）的最大值为2，此时x的取值集合为：{x|x=4kπ+

π

3

(k∈Z)}．
（2）由（1）得：f(α+

π

3

)=2sin(

α

2

+

π

2

)=2cos

α

2

，
由f(α+

π

3

)=

10

5

，可得cos

α

2

=

10

10

，
从而cosα=2cos2

α

2

-1=-

4

5

，
由于α∈（0，π），所以sinα=

3

5

．
于是，tanα=

sinα

cosα

=-

3

4

．

点评：本题考查平面向量的数量积运算、同角三角函数间的关系等三角知识，考查学生运算及变形能力，具有一定综合性．