Question

若椭圆的中心为原点，焦点在x轴上，点P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于-，试求椭圆的离心率及其方程．

Answer 1

解：设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），F₁（-c，0），c²=a²-b²，
则P（-c，b），即P（-c，）．
∵AB∥PO，∴k_AB=k_OP，
即-=．∴b=c．
又∵a==b，
∴e===．
又∵a-c=-，解得a=，c=，∴b=，
∴所求的椭圆方程为：+=1．
分析：求椭圆的离心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示．只需把a、c用同一量表示，由PF₁⊥F₁A，PO∥AB易得b=c，a=b．最后结合条件：“左焦点与左顶点的距离等于-“，即可求出椭圆的其方程．
点评：本题主要考查了椭圆的性质．要充分理解椭圆性质中的长轴、短轴、焦距、准线方程等概念及其关系．