Question

若椭圆的中心为原点，焦点在x轴上，点P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于

10

-

5

，试求椭圆的离心率及其方程．

Answer 1

分析：求椭圆的离心率，即求

c

a

，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示．只需把a、c用同一量表示，由PF₁⊥F₁A，PO∥AB易得b=c，a=

2

b．最后结合条件：“左焦点与左顶点的距离等于

10

-

5

“，即可求出椭圆的其方程．

解答：解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁（-c，0），c²=a²-b²，
则P（-c，b

1- c2 a2

），即P（-c，

b2

a

）．
∵AB∥PO，∴k_AB=k_OP，
即-

b

a

=

-b2

ac

．∴b=c．
又∵a=

b2+c2

=

2

b，
∴e=

c

a

=

b

2 b

=

2

2

．
又∵a-c=

10

-

5

，解得a=

10

，c=

5

，∴b=

5

，
∴所求的椭圆方程为：

x 2

10

+

y 2

5

=1．

点评：本题主要考查了椭圆的性质．要充分理解椭圆性质中的长轴、短轴、焦距、准线方程等概念及其关系．