Question

sin²C=sin²A+sin²B+sinA•sinB，
（1）求角C；（2）若△ABC的外接圆半径是2时，求a+b的值．

Answer 1

解：（1）由sin²C=sin²A+sin²B+sinA•sinB，
利用正弦定理化简得：c²=a²+b²+ab（*），
则根据余弦定理得：cosC==-，由C∈（0，180°），
得到：C=120°；
（2）∵c=2RsinC=2，又absinC=，∴ab=4，
把c的值代入（*）得：12=a²+b²+ab=（a+b）²-ab，
∴（a+b）²=16，
则a+b=4．
分析：（1）根据正弦定理化简已知的等式得到一个关系式，记作（*），然后利用余弦定理表示出cosC，把（*）代入即可求出cosC的值，然后由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由（1）求出的C的度数求出sinC的值，然后由sinC的值，利用△ABC的面积公式求出ab的值，又△ABC的外接圆半径是2，根据正弦定理求出c的值，代入（*）化简，配方后把ab的值代入即可求出a+b的值．
点评：解本题的关键是利用正弦定理化简已知的等式．综合考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式解决数学问题．本题的综合性比较强，要求学生掌握知识全面．