Question

已知向量

m

=（a+b，c）与

n

=（cosA+cosB，cosC）共线，其中a、b、c为△ABC的内角A、B、C的对边．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积为

3

，求|m|的最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理、正弦定理、三角形的内角和定理即可得出；
（2）由

1

2

absin

π

3

=

3

，可得ab=4．由余弦定理可得：c²=a²+b²-ab，再利用数量积运算性质可得|

m

|=

(a+b)2+c2

=

2a2+2b2+ab

，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（a+b，c）与

n

=（cosA+cosB，cosC）共线，
∴c（cosA+cosB）=（a+b）cosC，
由正弦定理可得：sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC，∴sin（A-C）=sin（C-B），
∵A、B、C为△ABC的内角，∴A-C=C-B，化为A+B=2C，∵A+B+C=π，∴C=

π

3

．
（2）∵

1

2

absin

π

3

=

3

，∴ab=4．由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcos

π

2

=a²+b²-ab，
∴|

m

|=

(a+b)2+c2

=

2a2+2b2+ab

≥

5ab

=

20

=2

5

，当且仅当a=b=2时取等号．
∴|

m

|的最小值为2

5

．

点评：本题考查了向量共线定理、正弦定理、三角形的内角和定理、三角形的面积计算公式、余弦定理、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．