Question

已知函数f（x）=

3

lnx（x≥1），若将其图象绕点（1，0）逆时针旋转θ（θ∈（0，

π

2

））角后，所得图象仍是某函数的图象，则当角θ取最大值θ₀时，tanθ₀=

 

．

Answer 1

考点：函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用

分析：若函数f（x）逆时针旋转角θ后所得曲线仍是一函数，根据函数的定义中的“唯一性”可得函数f（x）的图象应满足：一个自变量对应一个函数值y，因此，画出函数的图象，找切线的临界位置．

解答： 解：画出函数图象，如图：

易知函数图象过A（1，0）
A（1，0）处的切线m转动到直线n的位置（也即和x轴垂直）时就是转动的最大角度，此后若再旋转，图象的一个x值将对应2个y，那样就不是函数的图象了．因此只要求出初始位置时切线和终了位置时的切线的夹角θ即为转动的最大角度θ₀．
设切线m的倾斜角为α，∴tanα=f′（1），
∵f′（x）=

3

x

，∴tanα=f′（1）=

3

，∴α=

π

3

，∴θ=

π

6

，∴θ₀=

π

6

∴tan

π

6

=

3

3

故答案为：

3

3

点评：本题考查的知识点是函数的定义，其中根据函数的定义分析出函数f（x）的图象满足一个自变量对应一个函数值y是解答本题的关键．