Question

21.设函数()，其中.

(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)当时，求函数的极大值和极小值；

(Ⅲ)当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立.

Answer 1

本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.

(Ⅰ)解：当时，，得，且

，.

所以，曲线在点处的切线方程是，整理得

.

(Ⅱ)解：

.

令，解得或.

由于，以下分两种情况讨论.

(1)若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且

；

函数在处取得极大值，且

.

(2)若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且

；

函数在处取得极大值，且

.

(Ⅲ)证明：由，得，当时，

，.

由(Ⅱ)知，在上是减函数，要使，

只要

即

　　　　　　　　①

设，则函数在上的最大值为.

要使①式恒成立，必须，即或.

所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立.