Question

（2012•眉山一模）己知函数f(x)=2-x2+ax+3
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的值域；
（II）若A={x|y=lg(5-x)}，函数f(x)=2-x2+ax+3在A内是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当a=0时，f(x)=23-x2，令t（x）=3-x²结合二次函数的性质可求t（x）_max=t（0），由复合函数的单调性可求f（x）_max=f（0），进而可求函数f（x）的值域
（II）由题意可得A=（-∞，5），由于f（t）=2^t为R上的增函数要使得f(x)=2-x2+ax+3在（-∞，5）为增函数，只需t（x）=-x²+ax+3在（-∞，5）内是增函数，可求

解答：解：（I）当a=0时，f(x)=23-x2，令t（x）=3-x²
当x∈（-∞，0]时，t（x）为增函数；当x∈（-∞，0）时t（x）为减函数，且t（x）_max=t（0）=3（3分）
∵f（x）的底数大于1，所以f（x）_max=f（0）=8
故函数f（x）的值域为（0，8]（6分）
（II）函数y=lg（5-x）的定义域为（-∞，5），f（t）=2^t为R上的增函数
要使得f(x)=2-x2+ax+3在（-∞，5）为增函数
只需t（x）=-x²+ax+3在（-∞，5）内是增函数（9分）
命题等价于

a

2

≥5解得a≥10
即a的范围为[10，+∞）（12分）

点评：本题主要考查了由二次函数与指数函数复合而成的复合函数的单调性及函数值域的求解，解题的关键是熟练应用二次函数的性质