【题目】某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数为5组： 
， 
， 
， 
， 
，得到如图所示的频率分布直方图：
（Ⅰ）写出
的值；
（Ⅱ）求在抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数；
（Ⅲ）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率.
【答案】（I）
；（II）
；（III）
【解析】试题分析：（1）直接由频率分布直方图即可计算出
的值即可；（2）首先求出在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生频率和学生人数和在抽取的男生中，月上网次数不少于20次的学生频率和学生人数，然后求出在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生即可；（3）首先记“在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件
，然后分别求出在抽取的女生和男生中，月上网次数不少于20次的学生频率和人数，记这2名女生为
， 
，这3名男生为
， 
， 
，并列举各自的可能种数，最后由古典概型的计算公式即可得出所求的结果.
试题解析：（1）
.
（2）在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生频率为（0.05+0.02）×5=0.35，所以，在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生有0.03×20=7人.
在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生频率为（0.04+0.03）×5=0.35，所以，在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生有0.03×20=7人.
故抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数有7+7=14人.
（Ⅲ）记“在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件
，在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.02×5=0.1，人数为0.1×20=2人，
在抽取的男生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.03×5=0.15，人数为0.15×20=3人，
记这2名女生为
， 
，这3名男生为
， 
， 
，
则在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，
而事件
包含的结果有7种，它们是
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，
所以
.
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【题目】已知函数
，其中
，
为自然对数的底数.
（1）若函数
的图象在
处的切线与直线
垂直，求
的值；
（2）关于
的不等式
在
上恒成立，求的取值范围；
（3）讨论函数极值点的个数.
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【题目】已知函数
，给出下列命题，其中正确命题的个数为
①当
时，
上单调递增；
②当
时，存在不相等的两个实数
，使
；
③当
时，
有3个零点．
A. 3B. 2C. 1D. 0
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【题目】已知椭圆
的左，右焦点分别为
，离心率为
，
是
上的一个动点．当是的上顶点时，
的面积为
．
（1）求的方程；
（2）设斜率存在的直线
与的另一个交点为
．若存在点
，使得
，求
的取值范围．
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【题目】由中央电视台综合频道（
）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青春电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了
、
两个地区的100名观众，得到如下的
列联表：
非常满意 | 满意 | 合计 | |
| 30 |
| |
|
|
| |
合计 |
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为
，且
.
（Ⅰ）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“满意”的、地区的人数各是多少；
（Ⅱ）完成上述表格，并根据表格判断是否有
的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；
（Ⅲ）若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为
，求的分布列和期望.
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附：参考公式：
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【题目】为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：
），经统计其增长长度均在区间
内，将其按
，
，
，
，
，
分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为
及以上的产品为优质产品．
（Ⅰ）求图中
的值；
（Ⅱ）已知这120件产品来自于
，
两个试验区，部分数据如下列联表：
|
| 合计 | |
优质产品 | 20 | ||
非优质产品 | 60 | ||
合计 |
将联表补充完整，并判断是否有
的把握认为优质产品与，两个试验区有关系，并说明理由；
下面的临界值表仅供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
）
（Ⅲ）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数
的分布列和数学期望
．
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【题目】2002年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.设其中直角三角形中较小的锐角为
，且
，如果在弦图内随机抛掷1000米黑芝麻（大小差别忽略不计），则落在小正方形内的黑芝麻数大约为（ ）
A. 350B. 300C. 250D. 200
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【题目】已知动点P到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离少2．
（1）求点P的轨迹E的方程．
（2）过点F的两直线l1、l2分别与轨迹E交于A，B两点和C，D两点，且满足
=0，设M，N两点分别是线段AB，CD的中点，问直线MN是否恒过一定点，若经过，求定点的坐标；若不经过，请说明理由．
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【题目】已知椭圆C：
的右焦点为F(2,0)，过点F的直线交椭圆于M、N两点且MN的中点坐标为
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过点P（0，b）且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为1，试判断直线 l是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由.
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