Question

10．如图所示，已知圆（x+3）²+y²=100，定点A（3，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AM}$=0，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）求过点Q（2，1）的弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）通过向量关系，判断点N的轨迹为曲线E．满足椭圆定义，然后求解椭圆的方程即可．
（2）利用点差法求斜率，即可求过点Q（2，1）的弦的中点的轨迹方程．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AM}$=0，
∴NP为AM的中垂线，
∴|NA|=|NM|．
又∵|CN|+|NM|=10，∴|CN|+|NA|=10＞6，
∴动点N的轨迹是以点C和A为焦点的椭圆，且2a=10，
∴曲线E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）设直线与椭圆交与G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）两点，中点为S（x，y），
设弦的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{16（{x}_{1}+{x}_{2}）}{25（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{16x}{25y}$，
由S（x，y），Q（2，1）两点可得弦的斜率为k=$\frac{y-1}{x-2}$，
∴-$\frac{16x}{25y}$=$\frac{y-1}{x-2}$，化简可得中点的轨迹方程为：16x²+25y²-32x-25y=0．

点评 本题考查椭圆的定义的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力．