Question

已知在递增等差数列{a_n}中，a₁＝2，a₁，a₃，a₇成等比数列，{b_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2^n＋1－2.
(1)求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
(2)设c_n＝ab_n，求数列{c_n}的前n项和T_n.

Answer 1

（1）b_n＝2ⁿ.（2）2^n＋1－2＋n.

(1)∵a₁，a₃，a₇成等比数列，∴＝a₁·a₇，
设等差数列{a_n}的公差为d，则(2＋2d)²＝2(2＋6d)，d＞0，
∴d＝1，a_n＝n＋1.
又S_n＝2^n＋1－2，b₁＝S₁＝2，当n≥2时，b_n＝S_n－S_n－1＝2^n＋1－2－2ⁿ＋2＝2ⁿ，经检验，n＝1适合此式，∴b_n＝2ⁿ.
(2)∵c_n＝ab_n＝2ⁿ＋1，
∴T_n＝(2＋1)＋(2²＋1)＋…＋(2ⁿ＋1)＝(2＋2²＋…＋2ⁿ)＋n＝2^n＋1－2＋n.