Question

已知{a_n} 是等差数列，其中a₁=23，a₄=16
（1）求{a_n} 的通项；
（2）求{a_n}前n项和S_n的最大值；
（3）（文科不做）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|的值．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由于a₁=23，a₄=16，利用通项公式可得a₄=a₁+3d，即可解得d．
（2）令an=-

7

3

n+

76

3

≥0，解出即可．
（3）令T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．分类讨论：当n≤10时，可得T_n=S_n=a₁+a₂+…+a_n．当n≥11时，T_n=S₁₀-a₁₁-a₁₂-…-a_n=2S₁₀-S_n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=23，a₄=16，又a₄=a₁+3d，∴16=23+3d，解得d=-

7

3

．
∴an=23+(n-1)×(-

7

3

)=-

7

3

n+

76

3

．
（2）令an=-

7

3

n+

76

3

≥0，解得n≤10．
故数列{a_n}前10项和最大，最大值S₁₀=10×23+

10×9

2

×(-

7

3

)=125；
（3）令T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．
①当n≤10时，T_n=S_n=a₁+a₂+…+a_n=

n(23+ 76 3 - 7n 3 )

2

=-

7

6

n2+

145

6

．
②当n≥11时，T_n=S₁₀-a₁₁-a₁₂-…-a_n
=2S₁₀-S_n
=2×(-

7

6

×102+

145

6

)-

7

6

n2+

145

6

．
=-

7

6

n2-

965

6

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、含绝对值的数列的前n项和公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．