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(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分)

对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意的)都有成立,那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,以下简称周期。例如当是周期为的周期数列,当是周期为的周期数列。

    (1)设数列满足),不同时为0),且数列是周期为的周期数列,求常数的值;

    (2)设数列的前项和为,且

①若,试判断数列是否为周期数列,并说明理由;

②若,试判断数列是否为周期数列,并说明理由;

    (3)设数列满足),,数列 的前项和为,试问是否存在,使对任意的都有成立,若存在,求出的取值范围;不存在,    说明理由;

 

【答案】

 

解:(1)由数列是周期为的周期数列,

,即, …………4分

(2)当时,,又.……………………………5分

时,

.……………………………6分

①由,则为等差数列,即

由于对任意的都有,所以不是周期数列……………………………8分

②由,数列为等比数列,即

对任意都成立,

即当是周期为2的周期数列。…………………………10分

(3)假设存在,满足题设。

于是

所以是周期为3的周期数列,所以的前3项分别为,……………………12分

               ………………14分

时,

时,

时,

综上,                             ……………16分

为使恒成立,只要即可,

综上,假设存在,满足题设,。………………18分

 

【解析】略

 

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