Question

中心在原点的双曲线C₁的一个焦点与抛物线C₂：y²=8x的焦点F重合，抛物线C₂的准线l与双曲线C₁的一个交点为A，且|AF|=5．
（Ⅰ）求双曲线C₁的方程；
（Ⅱ）若过点B（0，1）的直线m与双曲线C₁相交于不同两点M，N，且=λ．
①求直线m的斜率k的变化范围；
②当直线m的斜率不为0时，问在直线y=x上是否存在一定点C，使⊥（-λ）？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由条件得F（2，0），l：x=-2．
设所求双曲线方程为（a＞0，b＞0），
直线l与x轴交于F′，根据|AF|=5，|FF′|=4，
得|AF′|=3，
从而．
解得a=1，b=．从而所求的双曲线方程为：x²-=1；

（Ⅱ）①设直线m：y=kx+1，代入x²-=1得，
（3-k²）x²-2kx-4=0，
∵直线m与曲线C₁交于两点M，N．
∴，
解得-2＜k＜-，或-＜k＜，或＜k＜2．
②设M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由上面可得，
由，得（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），
∴x₁=-λx₂，
设存在点C（t，t），
则
=（x₁-λx₂+t（λ-1），y₁-λy₂+t（λ-1）），
又，从而由，
得y₁-λy₂+t（λ-1）=0．
因直线m的斜率不为零，故λ≠1．
所以解得t===1+k?．
因为λ=-，代入得t=1+k?，
因为，
代入得t=-3，即存在点C（-3，-3），满足要求．
分析：（Ⅰ）设所求双曲线方程为（a＞0，b＞0），直线l与x轴交于F′，根据|AF|=5，|FF′|=4，能够求出所求的双曲线方程．
（Ⅱ）设直线m：y=kx+1，代入x²-=1得，（3-k²）x²-2kx-4=0，由直线m与曲线C₁交于两点M，N，能求出-2＜k＜-，或-＜k＜，或＜k＜2．设M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），得，由，得（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），所以x₁=-λx₂，由此入手能够求出存在点C（-3，-3），满足要求．
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．本题综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．