Question

一次数学考试中有A，B，C三道填空题为选做题，规定每个考生必须也只需选做其中的两道题，已知甲、乙两名考生都随机地选做了其中的两道题．
（I）求考生甲选做了A题的概率； 
（II）求这三名学生中选做A题的人数ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）“考生甲选作了A题”事件包含：选作AB、AC两种情况，根据古典概型的概率计算公式即可求得；
（II）先求出A题被一生选中的概率及不被选中的概率，则三名学生选题相当于做了三次独立重复试验，由独立重复试验的概率计算公式可得ξ=0，1，2，3时的概率，进而得其分布列、期望；

解答：解：（Ⅰ）“考生甲选作了A题”事件包含：选作AB、AC两种情况，
所以考生甲选做A题的概率为：

C 1 1 C 1 2

C 2 3

=

2

3

；
（Ⅱ）显然ξ=0，1，2，3，由于A题不被甲选中的概率为

1

3

，被甲选中的概率为

2

3

，
所以P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

3

)3=

1

27

，P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

3

)2

2

3

=

2

9

，P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

3

)(

2

3

)2=

4

9

，P（ξ=3）=

C

3 3

(

2

3

)3=

8

27

，
ξ的分布列如下所示：

所以Eξ=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望，独立重复试验，考查学生对问题的分析理解能力，属中档题．