Question

如图，设点F是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点，直线l的方程为x=-

a2

c

，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求椭圆的C的标准方程；
（2）若过点P且斜率为

1

4

的直线AB与椭圆交于A、B两点，求弦长|AB|
（3）若过点P的直线AB与椭圆交于A、B 两点，求△ABF的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由|MN|=8求出a，再由|PM|=2|MF|得到关于c的方程，求出c的值，由b²=a²-c²求出b²，则椭圆方程可求；
（2）求出直线AB的方程，联立直线和椭圆方程，由弦长公式求解|AB|；
（3）设出过P的直线AB的方程，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的方程，由根与系数的关系求出A，B两点纵坐标差的绝对值，把△ABF的面积转化为S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF，代入纵坐标的差的绝对值后利用基本不等式求最值．

解答：解：（1）由|MN|=8⇒a=4，
|PM|=2|MF|⇒

a2

c

-a=2(a-c)⇒

16

c

-4=2(4-c)，
∴c²-6c+8=0⇒c=2或4（舍），
∴b²=a²-c²=16-4=12，
∴椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）由（1）知，点P坐标为（-8，0），得直线AB方程为y=

1

4

(x+8)=

1

4

x+2，
联立

y= 1 4 x+2 x2 16 + y2 12 =1

，得13x²+16x-128=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

16

13

，x1x2=-

128

13

，
∴|AB|=

1+ 1 16

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

17 16

•

(- 16 13 )2-4×(- 128 13 )

=

12

13

51

；
（3）由已知图形得：S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF=

1

2

×|PF|×|y2-y1|=3|y2-y1|，
设过点P的直线方程为x+8=my，
联立

x=my-8 x2 16 + y2 12 =1

，得（3m²+4）y²-48my+144=0．
得△=（48m）²-4×144×（3m²+4）=4×144×（m²-4），
∴m²-4＞0．
y1+y2=

48m

3m2+4

，y1y2=

144

3m2+4

，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 48m 3m2+4 )2-4• 144 3m2+4

=

24 m2-4

3m2+4

．
因此S△ABF=

24 m2-4

m2+ 4 3

，
变形得：S△ABF=

24

m2-4 + 16 3 m2-4

≤3

3

，
当且仅当

m2-4

=

16 3

m2-4

，即m=±

2 21

3

时等号成立．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了弦长公式的应用，体现了数学转化思想方法，考查了利用基本不等式求最值，是一道综合性较强的题目．