Question

如图，设点P是椭圆E：

x2

4

+y2=1上的任意一点（异于左，右顶点A，B）．
（1）若椭圆E的右焦点为F，上顶点为C，求以F为圆心且与直线AC相切的圆的半径；
（2）设直线PA，PB分别交直线l：x=

10

3

与点M，N，求证：PN⊥BM．

Answer 1

分析：（1）先求出直线AC的方程，由直线与圆心相切的性质可知，圆心到直线的距离等于半径可求r
（2）要证明PN⊥BM，只要证明

PN

•

BM

=0，先设P的坐标，及直线AP，BP与直线x=

10

3

的交点M，N，由A，P，M三点共线可知AM，BM的斜率相等，AN，BN的斜率相等，结合点P在椭圆上，可寻求P，M，N的坐标的关系，代入即可证明

解答：（1）解：由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，1），F（

3

，0），
直线AC的方程为x-2y+2=0（2分）
设圆F的半径为r，则由以F为圆心的圆与直线AC相切可得圆心F到直线AC的距离为圆的半径r
∴r=

| 3 +2|

12+22

=

15 +2 5

5

（5分）
（2）设P（x₀，y₀），直线AP，BP分别交直线x=

10

3

于M（

10

3

，y1），N（

10

3

，y2）两点
∵A，P，M三点共线
∴K_AP=K_AM即

y0

x0+2

=

y1

10 3 +2

，整理可得，y1=

16y0

3(x0+2)

（7分）
同理可得，

y2

10 3 -2

=

y0

x0-2

，整理可得，y2=

4y0

3(x0-2)

（9分）
∴y1y2=

64y02

9(x02-4)

∵P（x₀，y₀）在椭圆E：

x2

4

+y2=1上
∴

x02

4

+y02=1即可得y02=

4-x02

4

（11分）
∴y1y2=

64

9

•

y02

x02-4

=

64(4-x02)

9(x02-4)

×

1

4

=-

16

9

（13分）
∴

PN

•

BM

=(

10

3

-x0，y2-y0)•(

10

3

-2，y1)=

4

3

(

10

3

-x0)+ (y2 -y0)y1
=

40

9

-

4x0

3

+y1y2-y1y0=

40

9

-

4x0

3

-

16

9

-

16y02

3(x0 +2)

=

24

9

-

4x0

3

-

16• 4-x02 4

3(x0+2)

=

24

9

-

4x0

3

-

4(2+x0)(2-x0)

3(x0+2)

=0
∴PN⊥BM

点评：本题主要考查了点到直线的距离公司的应用，三点共线性质的应用，直线与圆的相交关系的应用，及向量的数量积的性质在证明几何关系中的应用，属于综合性试题