Question

如图，直角坐标系XOY中，点F在x轴正半轴上，△OFG的面积为S．且，设，．
（1）以O为中心，F为焦点的椭圆E经过点G，求点G的纵坐标．
（2）在（1）的条件下，当取最小值时，求椭圆E的标准方程．
（3）在（2）的条件下，设点A、B分别为椭圆E的左、右顶点，点C是椭圆的下顶点，点P在椭圆E上（与点A、B均不重合），点D在直线PA上，若直线PB的方程为，且，试求CD直线方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设G（x，y），利用△OFG的面积S=c•|y|=c即可求得点G的纵坐标；
（2）利用•=c（x-c）=1，可求得x=c+，从而可求得||=（c≥2），构造函数f（c）=c+，利用其单调性质可求得当c=2时f（c）有最小值，从而可求得G点坐标；
（3）由（2）知：A（-，0），B（，0），C（0，-），由设P（x₁，y₁），可求得k_AP•k_BP=-，继而可求得k_AP=-，再由•=0可求得k_CD=5，从而可求得直线CD的方程．
解答：解：（1）设G（x，y）∵S=||•|y|，
∴c=c•|y|，|y|=，
∵=（c，0），=（x-c，y）（y＞0），
∴y=…（3分）
（2）由（1）知•=c（x-c）=1，∴x=c+
∴||==（c≥2）
∵f（c）=c+在[2，+∞]上递增，
∴当c=2时f（c）有最小值2+=，
此时x=，y=，
∴G（，），
由于点G在椭圆E上，且c=2∴可求得a²=10，b²=6
方程为：+=1…（8分）
（3）由（2）知：A（-，0），B（，0），C（0，-），
∵直线BP：y=kx-3经过点B，
∴求得k=3
又设P（x₁，y₁）则=（10-），
∴k_AP•k_BP=×=
==-=-，
∴k_AP=-×=-•=-•=-，
∵•=0，
∴k_AP•k_CD=-1，
∴-•k_CD=-1，
∴k_CD=5．
又CD直线过点C（0，）故：所求CD方程为：y=5x-…（13分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的关系的综合应用，考查双钩函数的单调性与最值，考查综合分析与应用的能力，属于难题．