Question

如图，直角坐标系xoy中，有Rt△ABC，∠C=90°，D在边BC上，BD=3DC，双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
（1）求双曲线E的渐近线方程；
（2）若△ABC的周长为12，求双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）设双曲线E的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．BD=3DC，得c+a=3（c-a），由此能求出双曲线E的渐近线方程；
（2）由（1）即可得到双曲线E的方程．

解答：解：设双曲线E的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
则B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a．
∴

|AB|2-|AC|2=16a2 |AB|+|AC|=12-4a |AB|-|AC|=2a

…（3分）
解之得a=1，∴c=2，b=

3

．
∴（1）双曲线E的渐近线方程y=±

3

x；
（2）双曲线E的方程为x²-

y2

3

=1．…（5分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．