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如图,直角坐标系xOy中,一直角三角形ABC,∠C=90°,B、C在x轴上且关于原点O对称,D在边BC上,BD=3DC,△ABC的周长为12.若一双曲线E以B、C为焦点,且经过A、D两点.
(1)求双曲线E的方程;
(2)若一过点P(m,0)(m为非零常数)的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N,且
MP
PN
,问在x轴上是否存在定点G,使
BC
⊥(
GM
GN
)
?若存在,求出所有这样定点G的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)设双曲线E的方程,利用BD=3DC,△ABC的周长为12,建立方程,即可求得双曲线的方程;
(2)对于存在性问题,可先假设存在,即假设在x轴上存在定点G(t,0),再利用根与系数的关系,求出t的值,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
解答:解:(1)设双曲线E的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1  (a>0,b>0)
,则B(-c,0),D(a,0),C(c,0).
由BD=3DC,得c+a=3(c-a),即c=2a.
|AB|2-|AC|2=16a2
|AB|+|AC|=12-4a
|AB|-|AC|=2a.
,解之得a=1,∴c=2,  b=
3

∴双曲线E的方程为x2-
y2
3
=1

(2)设在x轴上存在定点G(t,0),使
BC
⊥(
GM
GN
)

设直线l的方程为x-m=ky,M(x1,y1),N(x2,y2).
MP
PN
,得y1+λy2=0.
即λ=-
y1
y2

BC
=(4,0),
GM
GN
=(x1-t-λx2+λt,y1-λy2
∴x1-t-λx2+λt=0
∴x1-t=λ(x2-t)
即ky1+m-t=λ(ky2+m-t)②
①代入②得2ky1y2+(m-t)(y1+y2)=0③
把x=m+ky代入双曲线,消去x可得(3k2-1)y2+6kmy+3(m2-1)=0
∴y1+y2=
-6km
3k2-1
,y1y2=
3(m2-1)
3k2-1

代入③可得
6k(m2-1)
3k2-1
-
-6km(m-t)
3k2-1
=0
化简可得kmt=k
当t=
1
m
时,上式恒成立
因此,在x轴上存在定点G(
1
m
,0),使
BC
⊥(
GM
GN
)
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、向量的运算、双曲线方程等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.
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(2012•芜湖二模)如图,直角坐标系XOY中,点F在x轴正半轴上,△OFG的面积为S.且
OF
FG
=1
,设|
OF
|=c(c≥2)
S=
3
4
c

(1)以O为中心,F为焦点的椭圆E经过点G,求点G的纵坐标.
(2)在(1)的条件下,当|
OG
|
取最小值时,求椭圆E的标准方程.
(3)在(2)的条件下,设点A、B分别为椭圆E的左、右顶点,点C是椭圆的下顶点,点P在椭圆E上(与点A、B均不重合),点D在直线PA上,若直线PB的方程为,且
AP
CD
=0
,试求CD直线方程.

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( 2)若一过点O(m,0)(m为非零常数)的直线与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N,且
MP
PN
,问在x轴上是否存在定点G,使
BC
⊥(
GM
GN
)
?若存在,求出所有这样定点G的坐标;若不存在,请说明理由.

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精英家教网如图平面直角坐标系xOy中,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率e=
3
2
,A1,A2分别是椭圆的左、右两个顶点,圆A1的半径为a,过点A2作圆A1的切线,切点为P,在x轴的上方交椭圆于点Q.则
PQ
QA2
=
 

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