Question

已知圆C：x²+（y+2）²=4．
（Ⅰ）若过点M（-2，-3）的直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（Ⅱ）已知点A（2，0），点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）设直线l的方程为y+3=k（x+2），根据直线l与圆C相切，利用点到直线的距离公式列式算出k=-

3

4

，得此时的l方程为3x+4y+18=0．结合当l的斜率不存在时直线l也与圆C相切，可得满足条件的直线l方程为3x+4y+18=0或x+2=0；
（II）设M（x，y），B（m，n），利用中点坐标公式算出m=2x-2，n=2y．再由B（m，n）在圆C上运动，将B的坐标（2x-2，2y）代入圆C的方程，化简即得所求线段AB的中点M的轨迹方程．

解答：解：（I）设直线l的方程为y+3=k（x+2），即kx-y+2k-3=0．
∵圆C：x²+（y+2）²=4的圆心为C（0，-2），半径为2．
∴由直线l与圆C相切，得C到直线l的距离等于半径，
即

|0+2+2k-3|

k2+1

=2，解之得k=-

3

4

．
∴此时直线l的方程为y+3=-

3

4

（x+2），即3x+4y+18=0；
又∵当l与x轴垂直时斜率不存在，此时直线l方程为x+2=0，也与圆C相切，
∴满足条件的直线l的方程为3x+4y+18=0或x+2=0；
（II）设M（x，y），B（m，n），可得
∵点A（2，0），M是AB的中点，
∴由中点坐标公式得

1 2 (m+2)=x 1 2 (n+0)=y

，解得m=2x-2，n=2y．
∵B（m，n）在圆C：x²+（y+2）²=4上运动，可得m²+（n+2）²=4，
∴（2x-2）²+（2y+2）²=4，化简得（x-1）²+（y+1）²=1，即为AB的中点M的轨迹方程．

点评：本题给出已知圆C，求经过点M的圆C的切线方程，并求满足条件的线段中点的轨迹．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．