Question

如图，已知⊥平面，∥，=2，且是的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面BCE⊥平面；

（3）求此多面体的体积．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的一条直线平行即可．本题取CE中点P，连结FP、BP，易证明ABPF为平行四边形，∴AF∥BP，进而证明∥平面；（2）要证明面面垂直，只需证明一个平面经过另一个平面的一条垂线．本题易证明AF⊥平面CDE，而AB∥FP，故BP⊥平面CDE，进而证明平面BCE⊥平面；（3）该多面体是一个以C为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥，底面为直角梯形，易求其面积，故只需求四棱锥的高，由面面，故等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高，利用棱锥的体积公式计算即可．

试题解析：（1）取CE中点P，连结FP、BP，

∵F为CD的中点，

∴FP∥DE，且FP= 1分

又AB∥DE，且AB= ∴AB∥FP，且AB=FP， 2分

∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP． 3分

又∵AF平面BCE，BP平面BCE， ∴AF∥平面BCE 4分

（2）∵，所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD 5分

∵AB⊥平面ACD，DE//AB ∴DE⊥平面ACD 6分

又AF平面ACD ∴DE⊥AF 7分

又AF⊥CD，CD∩DE=D ∴AF⊥平面CDE 8分

又BP∥AF ∴BP⊥平面CDE 又∵BP平面BCE

∴平面BCE⊥平面CDE 9分

（3）此多面体是一个以C为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥，

， 10分

等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高 11分

12分

考点：1、直线和平面平行的判定；2、面面垂直的判定；3、几何体体积．