Question

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，O为BC的中点，AO∥面EFD，
(Ⅰ)求BD的长；
(Ⅱ)求证：面EFD⊥面BCED；
(Ⅲ)求平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）取ED的中点P，连接PO，PF， 则PO为梯形BCED的中位线，， 又， 所以PO∥AF，所以A，O，P，F四点共面。 因为AO∥面EFD，且面AOPF∩面EFD=PF， 所以AO∥PF， 所以四边形AOPF为平行四边形，PO=AF=2， 所以BD=1。 （Ⅱ）由题意可知平面ABC⊥面BCED； 又AO⊥BC且平面ABC， 所以AO⊥面BCED， 因为AO∥PF， 所以PF⊥面BCED， 又面EFD， 所以面EFD⊥面BCED； （Ⅲ）以O为原点，OC，OA，OP所在直线分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， ， 设Q为AC的中点，则， 易证：BQ⊥平面ACEF，平面ACEF的法向量为， 设平面DEF的法向量为，， 由得，所以， 所以， 所以平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值为。