Question

将如图所示的边长为a的等边三角形铁片，剪去三个四边形，做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）。
（1）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（2）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积。

Answer 1

解：（1）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为，
则，
函数的定义域为；
（2）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点，
先求V（x）的极值点，在开区间内，，
令V′（x）=0，即，解得，x₂=（舍去），
因为在区间内，x₁可能是极值点，
当0＜x＜x₁时，V′（x）＞0；
当时，V′（x）＜0，
因为x₁是极大值点，且在区间内，x₁是唯一的极值点，
所以是V（x）的最大值点，并且最大值为，
即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为。