Question

如图1，在边长为3的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC=

3 2

2

（1）证明：DE∥平面BCF；     
（2）证明：CF⊥平面ABF；
（3）当AD=

2

3

时，求三棱锥F-DEG的体积V_F-DEG．

Answer 1

分析：（1）根据面面平行的性质定理证DE∥平面BCF．
（2）利用线面垂直的判定定理证明CF⊥平面ABF．
（3）根据三棱锥的体积公式求体积即可．

解答：解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，
∴DE∥BC，DG∥BC，GE∥FC
在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立，
∵DG∩GE=G，
∴面DGE∥面BFC，又DE?面DGE，
∴DE∥平面BCF．
（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，
∴AF⊥BC，即AF⊥CF ①，
在边长为3的等边三角形ABC中，BF=FC=

3

2

．
∵在三棱锥A-BCF中，BC=

3 2

2

，
∴BC²=BF²+CF²，∴CF⊥BF②．
又∵BF∩AF=F，
∴CF⊥平面ABF．
（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．
∴三角形EGD为等腰直角三角形．
∵AD=

2

3

，
∴DG=GE=

1

2

AD=

1

2

×

2

3

=

1

3

．
∵AF=

3 3

2

，AG=

3

3

，
∴GF=AF-AG=

3 3

2

-

3

3

=

7 3

6

．
∴三棱锥F-DEG的体积V_F-DEG=

1

3

×

1

2

×

1

3

×

1

3

×

7 3

6

=

7 3

324

．

点评：本题主要考查了空间直线和平面平行，以及直线和平面垂直的判定，以及空间几何体的体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理，以及体积公式，考查学生的运算能力．