Question

如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，
BC上的点，且满足AE=FC=CP=1．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B，A₁P（如图2）．
（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BE中点D，可得△ADF是正三角形，从而可得EF⊥AD，即A₁E⊥EF，根据二面角A₁-EF-B为直二面角，可得A₁E⊥BE，从而可得A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）设A₁E在平面A₁BP内的射影为A₁Q，且A₁Q交BP于点Q，则∠E₁AQ就是A₁E与平面A₁BP所成的角，从而可求其大小．

解答：（Ⅰ）证明：取BE中点D，连接DF．
因为AE=CF=1，DE=1，所以AF=AD=2，
而∠A=60°，即△ADF是正三角形，
又因为AE=ED=1，所以EF⊥AD，
所以在图2中A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，A₁E⊥BE，
又BE∩EF=E
∴A₁E⊥平面BEF，
∴A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）在图2中，A₁E不垂直A₁B，
∴A₁E是平面A₁BP的垂线，又A₁E⊥平面BEP，
∴A₁E⊥BE．
从而BP垂直于A₁E在平面A₁BP内的射影（三垂线定理的逆定理）
设A₁E在平面A₁BP内的射影为A₁Q，且A₁Q交BP于点Q，则∠E₁AQ就是A₁E与平面A₁BP所成的角，且BP⊥A₁Q．
在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=60°，∴△EBP是等边三角形．
又A₁E⊥平面BEP，∴A₁B=A₁P，
∴Q为BP的中点，且EQ=

3

，又A₁E=1，
在Rt△A₁EQ中，tan∠EA1Q=

EQ

A1E

=

3

，
∴∠EA₁Q=60°，
∴直线A₁E与平面A₁BP所成的角为60°．

点评：本题考查空间线面位置关系，考查线面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，作出线面角，属于中档题．