Question

【题目】设为奇质数，、是小于的正整数.证明：的充分必要条件是，对任何小于的正整数，均有等于正奇数.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

必要性.

若，是小于的任一正整数，记，.

因为质数，故、皆不为整数.

因此，存在、，使，.

相加得.

故为整数.

由于，则必有.

从而，（奇数）.

充分性.

若对任何小于的正整数，均有等于正奇数. ①

令，则.

由必要性的讨论可知，对任何小于的正整数，均有等于正奇数.②

因此，由①、②，对任何小于的正整数，均有等于偶数.③

由式③进而可得，对任何正整数，均有等于偶数.④

（事实上，设，，则

等于偶数）

为证充分性，只须证.用反证法.

假设，不妨设，则.

因为奇质数，有.因此，有正整数与，使.

据此知，必为奇数，且.⑤

显然，不等于整数（否则，若等于整数，

由式⑤，为整数.因，则.从而，等于整数.故等于整数.矛盾）.

由不等于整数，则.

对式⑤两边取整得.

因此，为奇数，这与式④矛盾.

故原假设不真.

于是，，即，所以，.