Question

（选修4-2 矩阵与变换）
变换T是将平面上每个点M（x，y）的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点M'（2x，4y）．
（Ⅰ）求变换T的矩阵；
（Ⅱ）圆C：x²+y²=1在变换T的作用下变成了什么图形？

Answer 1

分析：（I）伸压变换矩阵的一般形式是

k  0 0  m

，（k、m是正数），其中将横坐标变为原来的k倍、纵坐标变为原来的m倍，由此结合题意则不难得到所求变换T的矩阵；
（II）用

1

2

x代替x，

1

4

y代替y，代入圆C的方程化简整理，即可得到变换后的方程，进而得到圆C在变换T的作用下变成的图形．

解答：解：（Ⅰ）由已知，得
T：

x y

→

x′ y′

=

2x 4y

=

2  0 0  4

x y

∴变换T的矩阵是

2  0 0  4

…（3分）
（Ⅱ）由x'=2x，y'=4y，得：x=

1

2

x′，y=

1

4

y′，
代入方程x²+y²=1，得：

1

4

x′2+

1

16

y′2=1
∴圆C：x²+y²=1在变换T的作用下变成了椭圆

x2

4

+

y2

16

=1…（7分）

点评：本题以伸压变换为例，求单位圆在矩阵T的作出下变换成的图形，着重考查了圆的方程、椭圆的标准方程和几种特殊的矩阵变换的知识点，属于基础题．