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    （1）（选修4-2 矩阵与变换）已知矩阵A=
    12
    -14
    ，向量
    α
    =
    7
    4
    ．
    ①求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量
    α1
    、
    α2
    ；
    ②求A5
    α
    的值．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程求极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+
    		3
    sinθ)=6    的距离的最小值．
    （3）选修4-5；不等式选讲知x，y，z为正实数，且
    1
    x
    +
    1
    y
    +
    1
    z
    =1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．
    分析：（1）①先求出矩阵A的特征多项式，令特征多项式等于零，求得特征值，即可求得特征向量
    α1
    、
    α2
    ．
    ②由
    α
    =m
    α1
    +n
    α2
    求得m、n的值，再由A5
    α
    =A5(3
    α1
    +
    α2
    )=3(A5
    α1
    )+A5
    α2
    ，运算求得结果．
    （2）把圆、直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再将此距离减去半径，即得所求．
    （3）由柯西不等式得
    x+4y+9z=[(
    		x
    )    2    +(2
    		y
    )    2    +(3
    		z
    )    2    ]•[(
    1
    		x
    )    2    +(
    1
    		y
    )    2    +(
    1
    		z
    )    2    ]
                    
    ，再利用基本
    不等式求得它的最小值．
    解答：解：（1）①矩阵A的特征多项式为f(λ)=
    .
    λ-1
    1
    -2
    λ-4
    .
    =λ2-5λ+6，令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，
    当λ1=2时，得
    α1
    =
    2
    1
    ，当λ2=3时，得
    α2
    =
    1
    1
    ．…（3分）
    ②由
    α
    =m
    α1
    +n
    α2
    得
    2m+n=7
    m+n=4
    ，得m=3，n=1．
    ∴A5
    α
    =A5(3
    α1
    +
    α2
    )=3(A5
    α1
    )+A5
    α2
    =3(
    λ
    5
    1
    α1
    )+
    λ
    5
    2
    α2
    =3×25
    2
    1
    +35
    1
    1
    =
    435
    339
    ．…（7分）
    （2）解：由 ρ=2即ρ2=4，则易得x2+y2=4，由ρ(cosθ+
    		3
    sinθ)=6    易得x+
    		3
    y-6=0    ，
    ∴圆心（0，0）到直线的距离为d0=
    |0+0-6|
    		12+(
    		3
    )    2
    =3    ，
    ∵又圆的半径为2，
    ∴圆上的点到直线的距离的最小值为d=d0-2=3-2=1．…（7分）
    （3）解：由柯西不等式得
    x+4y+9z=[(
    		x
    )    2    +(2
    		y
    )    2    +(3
    		z
    )    2    ]•[(
    1
    		x
    )    2    +(
    1
    		y
    )    2    +(
    1
    		z
    )    2    ]
                    

    ≥
    (
    		x
    •
    1
    		x
     +2
    		y
    •
    1
    		y
    +3z•
    1
    		z
    )    2
    =36，
    当且仅当x=2y=3z时等号成立，此时x=6，y=3，z=2，
    所以当x=6，y=3，z=2时，x+4y+9z取得最小值36．…（7分）
    点评：本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化，矩阵的特征值与特征向量，柯西不等式的应用，属于基础题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题有（1）、（2）、（3）三个选择题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
    （1）．选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵A=
    1a
    -1b
    ，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=
    2
    1
    ．
    （Ⅰ）求矩阵A；
    （Ⅱ）若向量β=
    7
    4
    ，计算A2β的值．

    （2）．选修4-4：坐标系与参数方程
    已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
    12
    3cos2θ+4sin2θ
    ，点F1，F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为
    x=2+
    		2
    2
    t
    y=
    		2
    2
    t
    （t为参数，t∈R）．求点F1，F2到直线l的距离之和．
    （3）．选修4-5：不等式选讲
    已知x，y，z均为正数．求证：
    x
    yz
    +
    y
    zx
    +
    z
    xy
    ≥
    1
    x
    +
    1
    y
    +
    1
    z
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
    设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
    （1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
    （2）求逆矩阵M-1以及椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    9
    =1在M-1的作用下的新曲线的方程．
    21-2．（选修4-4：参数方程）
    以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，
    π
    2
    ），若直线l过点P，且倾斜角为 
    π
    3
    ，圆C以M为圆心、4为半径．
    （1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
    （2）试判定直线l和圆C的位置关系．

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    科目：高中数学 来源：福建省09-10学年高二下学期期末数学理科考试试题 题型：解答题

    （共2小题做答，每小题7分）

    1．（选修4—2   矩阵与变换）（本题满分7分）

    变换是将平面上每个点的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点。

    （1）求变换的矩阵；

    （2）圆在变换的作用下变成了什么图形？

     

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年江苏省南通市海门中学高三（上）开学检测数学试卷（解析版） 题型：解答题

    【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
    设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
    （1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
    （2）求逆矩阵M-1以及椭圆+=1在M-1的作用下的新曲线的方程．
    21-2．（选修4-4：参数方程）
    以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，），若直线l过点P，且倾斜角为 ，圆C以M为圆心、4为半径．
    （1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
    （2）试判定直线l和圆C的位置关系．

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