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本题有(1)、(2)、(3)三个选择题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.
(1).选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=
1a
-1b
,A的一个特征值λ=2,其对应的特征向量是α1=
2
1

(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)若向量β=
7
4
,计算A2β的值.

(2).选修4-4:坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
,点F1,F2为其左、右焦点,直线l的参数方程为
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
(t为参数,t∈R).求点F1,F2到直线l的距离之和.
(3).选修4-5:不等式选讲
已知x,y,z均为正数.求证:
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
1
x
+
1
y
+
1
z
分析:(1)由已知可得(2E-A)α1=
0
,解得a,b即可;先计算A2,进而计算出A2β.
(2)把直线的参数方程和椭圆的极坐标方程化为普通方程,再利用点到直线的距离公式求出即可;
(3)变形后再利用公式x2+y2+z2≥2(xy+xz+xy)≥xy+xz+yz,即可证明结论;也可以利用基本不等式去证明.
解答:解:(A)解:(1)∵矩阵A=
1a
-1b
,A的一个特征值λ=2,其对应的特征向量是α1=
2
1

∴(2E-A)α1=
0
,即
1-a
12-b
 
2
1
=
0
,∴
2-a=0
2+2-b=0
,解得
a=2
b=4

∴矩阵A=
12
-14

(2)∵A2=
12
-14
 
12
-14
=
-110
-514

A2β=
-110
-514
 
7
4
=
33
21

(2)由直线l的参数方程为
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
(t为参数,t∈R),消去参数t得直线l普通方程为y=x-2;
由椭圆C的极坐标方程为ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
,化为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12,
∴3x2+4y2=12,化为普通方程
x2
4
+
y2
3
=1.
∴c2=4-3=1,∴c=1.
∴焦点F1(-1,0),F2(1,0),∴点F1到直线l的距离d1=
|-1-0-2|
2
=
3
2
2

F2到直线l的距离d2=
|1-0-2|
2
=
2
2

∴d1+d2=2
2

(C)证明:∵x,y,z都是为正数,
xyz(
x
yz
+
y
xz
+
z
xy
)=x2+y2+z2
≥2(xy+xz+xy)≥xy+xz+yz,当且仅当x=y=z>0时取等号;
x
yz
+
y
xz
+
z
xy
1
x
+
1
y
+
1
z
点评:充分理解矩阵的特征值和特征向量、极坐标方程与普通方程的互化公式及点到直线的距离公式、不等式的性质是解题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,请考生任选2题作答.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知a,b∈R,若M=
-1a
b3
所对应的变换TM把直线L:2x-y=3变换为自身,求实数a,b,并求M的逆矩阵.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程:
x=t
y=1+2t
(t为参数)和圆C的极坐标方程:ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)

①将直线l的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;
②判断直线l和圆C的位置关系.
(3)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求实数x的范围.

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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=
12
34

①求矩阵A的逆矩阵B;
②若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x,求直线l的方程.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合.圆C的参数方程为
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
(a为参数),点Q极坐标为(2,
7
4
π).
(Ⅰ)化圆C的参数方程为极坐标方程;
(Ⅱ)若点P是圆C上的任意一点,求P、Q两点距离的最小值.
(3)选修4-5:不等式选讲
(I)关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解不是空集,求a的取值范围.
(II)设x,y,z∈R,且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1
,求x+y+z的取值范围.

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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.
(Ⅰ)选修4-2:矩阵与变换,
已知矩阵A=
01
a0
,矩阵B=
02
b0
,直线l1
:x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l2,直线l2又经矩阵B所对应的变换得到直线l3:x+y+4=0,求直线l2的方程.
(Ⅱ)选修4-4:坐标系与参数方程,
求直线
x=-2+2t
y=-2t
被曲线
x=1+4cosθ
y=-1+4sinθ
截得的弦长.
(Ⅲ)选修4-5:不等式选讲,解不等式|x+1|+|2x-4|>6.

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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分
(1)已知矩阵M=
12
21
,β=
1
7
,(Ⅰ)求M-1;(Ⅱ)求矩阵M的特征值和对应的特征向量;(Ⅲ)计算M100β.
(2)曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ,点A的极坐标是(2,0),求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长.
(3)已知a>0,求证:
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2

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