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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=
12
34

①求矩阵A的逆矩阵B;
②若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x,求直线l的方程.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合.圆C的参数方程为
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
(a为参数),点Q极坐标为(2,
7
4
π).
(Ⅰ)化圆C的参数方程为极坐标方程;
(Ⅱ)若点P是圆C上的任意一点,求P、Q两点距离的最小值.
(3)选修4-5:不等式选讲
(I)关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解不是空集,求a的取值范围.
(II)设x,y,z∈R,且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1
,求x+y+z的取值范围.
分析:(1)①设矩阵A的逆矩阵B=
ab
cd
,由
ab
cd
12
34
=
a+3b2a+4b
c+3d2c+4d
=
10
01
,求出B.
②由题意可得 
x′′
y′′
=
-21
3
2
-
1
2
x′
y′
=
-2x+y′
3
2
x-
1
2
y′
,且x′-y′=0.化简(-2x+y)-(
3
2
x
-
y
2
)=0,可得直线l的方程.
(2)(Ⅰ)把圆C的参数方程化为直角坐标方程为 (x-1)2+(y+1)2=4,再化为极坐标方程.
(Ⅱ)先求得点Q的直角坐标为(
2
,-
2
),由于圆心C的坐标为(1-1),求得CQ=
6
,可得PQ的最小值为CQ-r,运算求得结果.
(3)(I)由绝对值的意义可得,|x-3|+|x-4|的最小值为1,结合题意可得故a>1,从而求得a的取值范围.
(II)设x,y,z∈R,且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1
,利用柯西不等式得 (x+y+z)2≤25,可得x+y+z的取值范围.
解答:解:(1)①∵已知矩阵A=[
12
34
],设矩阵A的逆矩阵B=
ab
cd

则有
ab
cd
 
12
34
=
a+3b2a+4b
c+3d2c+4d
=
10
01

a+3b=1
2a+4b=0
c+3d=0
2c+4d=1
,解得 
a=-2
b=1
c=
3
2
d=-
1
2
,故A的逆矩阵B=
-21
3
2
-
1
2

②若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x,即x-y=0,
x′′
y′′
=
-21
3
2
-
1
2
 
x′
y′
=
-2x+y′
3
2
x-
1
2
y′
,且x′-y′=0.
∴(-2x+y)-(
3
2
x
-
y
2
)=0,即 7x-3y=0,∴直线l的方程为 7x-3y=0.
(2)(Ⅰ)∵圆C的参数方程为
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
,化为直角坐标方程为 (x-1)2+(y+1)2=4.
再化为极坐标方程为 (ρcosθ-1)2+(ρsinθ+1)2=4.
(Ⅱ)∵点Q极坐标为(2,
7
4
π),故点Q的直角坐标为(
2
,-
2
).
由于圆心C的坐标为(1-1),且CQ=
(
2
-1)
2
+(-
2
+1)
2
=
6
,点P是圆C上的任意一点,
故PQ的最小值为 CQ-r=
6
-1.
(3)(I)关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解不是空集,而由绝对值的意义可得,|x-3|+|x-4|的最小值为1,
故a>1,故a的取值范围为(1,+∞).
(II)设x,y,z∈R,且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1
,利用柯西不等式得
(16+5+4)×(
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
)≥(x+y+z)2
∴(x+y+z)2≤25,
即-5≤x+y+z≤5,故x+y+z的取值范围为[-5,5].
点评:本题考查逆变换与逆矩阵,绝对值不等式的解法,柯西不等式的应用,参数方程、极坐标方程、以及直角坐标方程间的互化,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,请考生任选2题作答.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知a,b∈R,若M=
-1a
b3
所对应的变换TM把直线L:2x-y=3变换为自身,求实数a,b,并求M的逆矩阵.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程:
x=t
y=1+2t
(t为参数)和圆C的极坐标方程:ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)

①将直线l的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;
②判断直线l和圆C的位置关系.
(3)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求实数x的范围.

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本题有(1)、(2)、(3)三个选择题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.
(1).选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=
1a
-1b
,A的一个特征值λ=2,其对应的特征向量是α1=
2
1

(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)若向量β=
7
4
,计算A2β的值.

(2).选修4-4:坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
,点F1,F2为其左、右焦点,直线l的参数方程为
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
(t为参数,t∈R).求点F1,F2到直线l的距离之和.
(3).选修4-5:不等式选讲
已知x,y,z均为正数.求证:
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
1
x
+
1
y
+
1
z

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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.
(Ⅰ)选修4-2:矩阵与变换,
已知矩阵A=
01
a0
,矩阵B=
02
b0
,直线l1
:x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l2,直线l2又经矩阵B所对应的变换得到直线l3:x+y+4=0,求直线l2的方程.
(Ⅱ)选修4-4:坐标系与参数方程,
求直线
x=-2+2t
y=-2t
被曲线
x=1+4cosθ
y=-1+4sinθ
截得的弦长.
(Ⅲ)选修4-5:不等式选讲,解不等式|x+1|+|2x-4|>6.

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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分
(1)已知矩阵M=
12
21
,β=
1
7
,(Ⅰ)求M-1;(Ⅱ)求矩阵M的特征值和对应的特征向量;(Ⅲ)计算M100β.
(2)曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ,点A的极坐标是(2,0),求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长.
(3)已知a>0,求证:
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2

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