Question

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

1 2 3 4

．
①求矩阵A的逆矩阵B；
②若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x，求直线l的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．圆C的参数方程为

x=1+2cosα y=-1+2sinα

（a为参数），点Q极坐标为（2，

7

4

π）．
（Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；
（Ⅱ）若点P是圆C上的任意一点，求P、Q两点距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
（I）关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范围．
（II）设x，y，z∈R，且

x2

16

+

y2

5

+

z2

4

=1，求x+y+z的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①设矩阵A的逆矩阵B=

a b c d

，由

a b c d

1 2 3 4

=

a+3b 2a+4b c+3d 2c+4d

=

1 0 0 1

，求出B．
②由题意可得 

x′′ y′′

=

-2 1 3 2 - 1 2

x′ y′

=

-2x+y′ 3 2 x- 1 2 y′

，且x′-y′=0．化简（-2x+y）-（

3

2

x-

y

2

）=0，可得直线l的方程．
（2）（Ⅰ）把圆C的参数方程化为直角坐标方程为 （x-1）²+（y+1）²=4，再化为极坐标方程．
（Ⅱ）先求得点Q的直角坐标为（

2

，-

2

），由于圆心C的坐标为（1-1），求得CQ=

6

，可得PQ的最小值为CQ-r，运算求得结果．
（3）（I）由绝对值的意义可得，|x-3|+|x-4|的最小值为1，结合题意可得故a＞1，从而求得a的取值范围．
（II）设x，y，z∈R，且

x2

16

+

y2

5

+

z2

4

=1，利用柯西不等式得 （x+y+z）²≤25，可得x+y+z的取值范围．

解答：解：（1）①∵已知矩阵A=[

1 2 3 4

]，设矩阵A的逆矩阵B=

a b c d

，
则有

a b c d

 

1 2 3 4

=

a+3b 2a+4b c+3d 2c+4d

=

1 0 0 1

．
∴

a+3b=1 2a+4b=0 c+3d=0 2c+4d=1

，解得 

a=-2 b=1 c= 3 2 d=- 1 2

，故A的逆矩阵B=

-2 1 3 2 - 1 2

．
②若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x，即x-y=0，
则

x′′ y′′

=

-2 1 3 2 - 1 2

 

x′ y′

=

-2x+y′ 3 2 x- 1 2 y′

，且x′-y′=0．
∴（-2x+y）-（

3

2

x-

y

2

）=0，即 7x-3y=0，∴直线l的方程为 7x-3y=0．
（2）（Ⅰ）∵圆C的参数方程为

x=1+2cosα y=-1+2sinα

，化为直角坐标方程为 （x-1）²+（y+1）²=4．
再化为极坐标方程为 （ρcosθ-1）²+（ρsinθ+1）²=4．
（Ⅱ）∵点Q极坐标为（2，

7

4

π），故点Q的直角坐标为（

2

，-

2

）．
由于圆心C的坐标为（1-1），且CQ=

( 2 -1)2+(- 2 +1)2

=

6

，点P是圆C上的任意一点，
故PQ的最小值为 CQ-r=

6

-1．
（3）（I）关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，而由绝对值的意义可得，|x-3|+|x-4|的最小值为1，
故a＞1，故a的取值范围为（1，+∞）．
（II）设x，y，z∈R，且

x2

16

+

y2

5

+

z2

4

=1，利用柯西不等式得
（16+5+4）×（

x2

16

+

y2

5

+

z2

4

）≥（x+y+z）²，
∴（x+y+z）²≤25，
即-5≤x+y+z≤5，故x+y+z的取值范围为[-5，5]．

点评：本题考查逆变换与逆矩阵，绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，参数方程、极坐标方程、以及直角坐标方程间的互化，属于中档题．