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    【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
    设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
    （1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
    （2）求逆矩阵M-1以及椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    9
    =1在M-1的作用下的新曲线的方程．
    21-2．（选修4-4：参数方程）
    以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，
    π
    2
    ），若直线l过点P，且倾斜角为 
    π
    3
    ，圆C以M为圆心、4为半径．
    （1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
    （2）试判定直线l和圆C的位置关系．
    分析：21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
    （1）由M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，可得矩阵M，进而根据矩阵特征值和特征向量的定义得到矩阵M的特征值及相应的特征向量；
    （2）根据（1）中M求出M-1，结合椭圆方程
    x2
    4
    +
    y2
    9
    =1，可得在M-1的作用下的新曲线的方程．
    21-2．（选修4-4：参数方程）
    （1）根据P点坐标及直线l的倾斜角，可求出直线l的参数方程，根据点M的极坐标及圆C以M为圆心、4为半径可求出圆C的极坐标方程；
    （2）求出直线l和圆C的普通方程，代入点到直线距离公式，求出圆心M到直线l的距离，与圆的半径进行比较后，可判断直线与圆的位置关系．
    解答：解：21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
    （1）∵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换
    ∴矩阵M=
    .
    20
    03
    .
    ，
    ∴它的特征值为2和3，
    ∴对应的特征向量为
    .
    1
    0
    .
    及
    .
    0
    1
    .
    ；
    （2）M-1=
    .
    1
    2
    		0
    0
    1
    3
    .
    ，
    椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    9
    =1在M-1的作用下的新曲线的方程为x2+y2=1．
    解：21-2．（选修4-4：参数方程）
    （1）∵P的直角坐标为（1，-5），
    直线l过点P，且倾斜角为 
    π
    3
    ，
    直线l的参数方程为
    x=1+
    1
    2
    t
    y=-5+
    		3
    2
    t
    ，
    又∵圆C以M为圆心、4为半径
    圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．
    （2）因为M（4，
    π
    2
    ）对应的直角坐标为（0，4），
    直线l的普通方程为
    		3
    x-y-5-
    		3
    =0，
    ∴圆心到直线l的距离d=
    |0-4-5-
    		3
    |
    		3+1
    =
    9+
    		3
    2
    ＞5，
    所以直线l与圆C相离．
    点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，特征值，特征向量的求法，简单曲线的极坐标方程，难度中档．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    A．选修4-1　几何证明选讲
    如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
    B．选修4-2　矩阵与变换
    若点A（2，2）在矩阵M=
    cosα-sinα
    sinαcosα
    对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵．
    C．选修4-4　坐标系与参数方程
    已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，
    曲线C1：ρcos(θ+
    π
    4
    )=2
    		2
    与曲线C2：
    x=4t2
    y=4t
    （t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
    D．选修4-5　不等式选讲
    已知x，y，z均为正数．求证：
    x
    yz
    +
    y
    zx
    +
    z
    xy
    ≥
    1
    x
    +
    1
    y
    +
    1
    z
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题l0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

    A.选修4 – 1几何证明选讲

    如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,

    ∠BAC的平分线与BC交于点D.

    求证：ED2= EB·EC.

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年江苏省南通市海门中学高三（上）开学检测数学试卷（解析版） 题型：解答题

    【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
    设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
    （1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
    （2）求逆矩阵M-1以及椭圆+=1在M-1的作用下的新曲线的方程．
    21-2．（选修4-4：参数方程）
    以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，），若直线l过点P，且倾斜角为 ，圆C以M为圆心、4为半径．
    （1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
    （2）试判定直线l和圆C的位置关系．

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    科目：高中数学 来源：江苏省2010届三校四模联考 题型：解答题

     【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题l0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

    A.选修4 – 1几何证明选讲

    如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,

    ∠BAC的平分线与BC交于点D.

    求证：ED2= EB·EC.

     

     

     

     

     

    B．矩阵与变换

    已知矩阵，，求满足的二阶矩阵．

     

     

     

     

     

     

    C.选修4 – 4 参数方程与极坐标

    若两条曲线的极坐标方程分别为r = 1与r = 2cos( + ),它们相交于A，B两点，求线段AB的长.

     

     

     

     

     

     

    D.选修4 – 5 不等式证明选讲

    设a,b,c为正实数,求证:a3 + b3 + c3 + ≥2.

     

     

     

     

     

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