Question

给出下列命题：
①经过空间一点一定可作一条直线与两异面直线都垂直；
②经过空间一点一定可作一平面与两异面直线都平行；
③已知平面α、β，直线a、b，若α∩β=a，b⊥a，则b⊥α；
④四个侧面两两全等的四棱柱为直四棱柱；
⑤底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
其中正确命题的序号是

①

．

Answer 1

分析：经过空间一点作与两条异面的公垂线段平行的直线有且只有一条，满足条件，可判断①；
令点在其中的一条直线上，此时该直线与过该点的平面一定有交点，不可能平行，可判断②；
根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，可判断③；
根据平行六面体的几何特征，可判断④；
举反例：三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，可判断⑤

解答：解：①经过空间一点作与两条异面的公垂线段平行的直线，与两条异面直线都垂直，而且这样的直线有且只有一条，故正确；
②若该点在这两条异面直线其中一条上，经过该点无法作一平面与两异面直线都平行，故错误；
③若直线b不在平面β内或两个平面α，β不是垂直的，此时都无法判断b⊥α，故错误；
④平行六面体的四个侧面两两全等，但侧棱与底面不垂直时，棱柱为斜四棱柱，故错误；
⑤当三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥，故错误；
故答案为：①

点评：本题考查棱锥的结构特征，异面直线的几何特征，及线面垂直的判定，考查学生逻辑思维能力，空间想象能力，是基础题．