Question

已知椭圆C长轴的两个顶点为A（－2，0），B（2，0），且其离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若N是直线x=2上不同于点B的任意一点，直线AN与椭圆C交于点Q，设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M（异于点B），求证：直线NM经过定点．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据斜率公式，有斜率乘积等于整理即得，注意；（Ⅱ）设直线的方程，与椭圆方程组成方程组，消去，由韦达定理求点的坐标，根据直线与以为直径的圆的另一个交点为，得，从而得到直线的方程，确定恒过的定点.

试题解析：(Ⅰ)设,由得   ,其中,

整理得点的轨迹方程为.                   (4分)

（Ⅱ）设点，则直线的方程为，

解方程组，消去得，

设，则，，（8分）

从而，又，

直线与以为直径的圆的另一个交点为，，

方程为,即,过定点,        (12分)

考点：椭圆方程，直线与椭圆的关系，定点问题.